Question

設{x}表示離x最近的整數，即若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

，則{x}=m．
下面是關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題：①函數y=f（x）的定義域是R，值域是[0，

1

2

]；②函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

(k∈Z)對稱；③函數y=f（x）是周期函數，最小正周期是1；其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

分析：①定義域、值域可由題意直接得到．
②通過驗證f（

k

2

+x）=f（

k

2

-x）可知正確．
③由f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x-{x}}=f（x）可直接驗證．

解答：解：①根據題意可直接得到定義域為R，值域為[0，

1

2

]
②驗證f（

k

2

+x）=f（

k

2

-x）正確性即可
當k為偶數時，

k

2

為整數，∵f（

k

2

+x）=|

k

2

+x-{

k

2

+x}|=|x-{x}|
f（

k

2

-x）=|

k

2

-x-{

k

2

-x}|=|-x+{x}|=|x-{x}|=f（

k

2

+x）
當k為奇數時，

k-1

2

為整數
∵f（

k

2

+x）=|

k-1

2

+

1

2

+x-{

k-1

2

+

1

2

+x}|=|

1

2

+x-{

1

2

+x}|=|x-{x}|
f（

k

2

-x）=|

k-1

2

+

1

2

-x-{

k-1

2

+

1

2

-x}|=|

1

2

-x-{

1

2

-x}|=|x-{x}|=f（

k

2

+x）
y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

對稱．
③∵f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x-{x}}=f（x）
∴f（x）是周期函數且最小正周期是1
故答案為：①②③

點評：本題主要考查函數的基本性質--定義域、值域、對稱性、周期性．另外，函數的奇偶性、單調性也是經常被考到的對象，要引起重視．