Question

已知函數，曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x+2y-3=0，
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果當x＞0，且x≠1時，，求k的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由于直線x+2y-3=0的斜率為，且過點（1，1），
故，即，解得a=1，b=1。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以，
考慮函數（x＞0），
則，
(ⅰ)設k≤0，由知，
當x≠1時，h′（x）＜0，而h(1)=0，
故當x∈（0，1）時，h（x）＞0，可得；
當x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，可得；
從而當x＞0，且x≠1時，f（x）-（）＞0，即f（x）＞；
(ⅱ)設0＜k＜1，由于當x∈（1，）時，（k-1）（x²+1）+2x＞0，
故h′（x）＞0，而h（1）=0，
故當x∈（1，）時，h（x）＞0，可得，與題設矛盾；
(ⅲ)設k≥1，此時h（x）＞0，而h（1）=0，
故當x∈（1，+∞）時，h（x）＞0，可得，與題設矛盾；
綜合得，k的取值范圍為（-∞，0]。