Question

下列命題中正確的是（　　）

A．“m= 1 2 ”是“直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互平行”的充分不必要條件

B．“直線l垂直平面α的無數條直線”是“直線l垂直于平面α”的充分條件

C．已知 a ， b ， c 為非零向量，則“ a • b = a • c ”是“ b = c ”的充要條件

D．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件

Answer 1

對于A，當m=

1

2

時，直線（m+2）x+3my+1=0即

5

2

x+

3

2

y+1=0，斜率為-

5

3

直線（m-2）x+（m+2）y-3=0即-

3

2

x+

5

2

y-3=0，斜率為

3

5

∵-

5

3

•

3

5

=-1
∴兩條直線互相垂直，不平行．
因此m=

1

2

不是兩條直線平行的充分條件，故A錯誤；
對于B，當直線l是平面α的一條斜線，且l在α內的射影為l′，
則根據三垂線定理，在α內與l′垂直的直線m必定垂直于l，
直線m在平面α內可以平行移動，可知這樣的直線m有無數條，
因此“直線l垂直平面α的無數條直線”不是“直線l垂直于平面α”的充分條件，B錯誤；
對于C，當非零向量

a

，

b

，

c

滿足

b

、

c

向量在向量

a

上的投影相等時，
即有“

a

•

b

=

a

•

c

”成立，不一定有“

b

=

c

”，命題的充分性不成立
所以“

a

•

b

=

a

•

c

”不是“

b

=

c

”的充要條件，故C錯誤；
對于D，在△ABC中，若“A＞B”成立，則有“a＞b”，
再結合正弦定理有：2RsinA＞2RsinB，可得“sinA＞sinB”成立，其中R是外接圓半徑
反之，若“sinA＞sinB”成立，可由正弦定理和大邊對大角的結論得到“A＞B”成立
所以在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件．故D正確．
故選D