Question

（2009•臺州一模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx+c（a，b，c∈R），當(dāng)x=-1時，f（x）取得極大值3，f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知實數(shù)t能使函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，記所有的實數(shù)t組成的集合為M．請判斷函數(shù)g(x)=

f(x)

x

(x∈M)的零點個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件當(dāng)x=-1時，f（x）取得極大值3，即f（-1）=3，f'（-1）=0，以及f（0）=1，三個條件建立方程組，可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）要使函數(shù)在區(qū)間（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，則等價為f'（x）=0在區(qū)間（t，t+3）上有兩個不同的根，進而實現(xiàn)轉(zhuǎn)化．

解答：解：（1）由f（0）=1得c=1．
又當(dāng)x=-1時，f（x）取得極大值3，所以f（-1）=3，f'（-1）=0．
f′(x)=3ax2+b，

f′(-1)=3a+b=0 f(-1)=-a-b+1=3

，
得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x+1．
（2）由f′（x）=3（x-1）（x+1）=0，得x=-1，
在x=1時取得極值．由-1∈（t，t+3），1∈（t，t+3）得-2＜t＜-1．
∴M=（-2，-1）．（8分）g(x)=

f(x)

x

=x2+

1

x

-3，g′(x)=2x-

1

x2

，
∴當(dāng)x∈M時，g′（x）＜0，
∴g（x）在M上遞減．
又g(-2)=

1

2

，g(-1)=-3
∴函數(shù)g(x)=

f(x)

x

，x∈M的零點有且僅有1個．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系．利用條件先求出函數(shù)的表達式．然后將函數(shù)進行等價轉(zhuǎn)化．