Question

如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，PA=1，P在平面ABC內的射影為BF的中點O.

(1)證明PA⊥BF；

(2)求面APB與面DPB所成二面角的大小.

Answer 1

思路解析:本題考查了二面角的求法.

(1)證明：在正六邊形ABCDEF中，△ABF為等腰三角形，

∵P在平面ABC內的射影為O，∴PO⊥平面ABF.∴AO為PA在平面ABF內的射影.

∵O為BF中點，∴AO⊥BF.∴PA⊥BF.

(2)解法一：∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC.而O為BF中點，ABCDEF是正六邊形，

∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF.

又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，∴AO=，DO=，BO=.

過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連結AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD為所求二面角的平面角.

在△AHO中，OH=，tan∠AHO=

在△DHO中，tan∠DHO=

而tan∠AHD=tan(∠AHO+∠DHO)=

所以面APB與面DPB所成二面角的大小為π-arctan

 

解法二：以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P(0，0，1)，A(0，-，0)，B(，0，0)，D(0，2，0)，

∴=(0,-,-1)，=(,0,-1)，=(0,2,-1).

設平面PAB的法向量為n₁=(x₁，y₁，1)，則n₁⊥，n₁⊥，得n₁=(，-2，1).

設平面PDB的法向量為n₂=(x₂，y₂，1)，則n₂⊥、n₂⊥，得n₂=(，1).

cos〈n₁、n₂〉=

所以面APB與面DPB所成二面角的大小為arccos