Question

如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，P在平面ABC內的射影為BF的中點O且PO=1，
（Ⅰ）證明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB與面DPB所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）立體幾何中證明直線與直線垂直，通常可用三垂線定理：因為P在平面ABC內的射影為O，所以PO⊥平面ABF，所以AO為PA在平面ABF內的射影；又因為O為BF中點，所以AO⊥BF，則PA⊥BF．
（2）解法一：
二面角的度量關鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理．由PO⊥平面ABF可得：AD⊥平面PBF，過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD為所求二面角平面角．
解法二：
以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P（0，0，1），A（0，，0），B（，0，0），D（0，2，0），這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．
設平面PAB的法向量為，則，，設平面PDB的法向量為，則，，所以所求二面角的大小即為這兩個法向量的夾角的大小．
解答：解：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，△ABF為等腰三角形，
∵P在平面ABC內的射影為O，
∴PO⊥平面ABF，
∴AO為PA在平面ABF內的射影；
∵O為BF中點，∴AO⊥BF，
∴PA⊥BF．
（Ⅱ）解法一：
∵PO⊥平面ABF，
∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點，ABCDEF是正六邊形，
∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；
又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，
∴，，．
過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，
所以∠AHD為所求二面角平面角．
在△AHO中，OH=，=．
在△DHO中，；
而=
（Ⅱ）解法二：
以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P（0，0，1），A（0，，0），B（，0，0），D（0，2，0），
∴，，
設平面PAB的法向量為，則，，
得，；
設平面PDB的法向量為，則，，
得，；
=
點評：本小題主要考查棱錐的結構特征，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．