Question

（本題滿分15分 ）已知函數．

（1）求函數的最大值；

（2）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）在處取得最大值，且最大值為0．（2）． （3）見解析。

【解析】(1)先求出 ,然后求導確定單調區間，極值，最值即可.

(2) 本小題轉化為在上恒成立，進一步轉化為,然后構造函數，利用導數研究出h(x)的最大值，再利用基礎不等式可知,從而可知a的取值范圍.

（1），則．…………2分

當時，，則在上單調遞增；

當時，，則在上單調遞減，

所以，在處取得最大值，且最大值為0．     ………………………4分

（2）由條件得在上恒成立．           ………………………6分

設，則．

當時，；當時，，所以，．

要使恒成立，必須．                  ………………………8分

另一方面，當時，，要使恒成立，必須．

所以，滿足條件的的取值范圍是．            ………………………10分

（3）當時，不等式等價于．……12

令，設，則，

在上單調遞增，，

所以，原不等式成立．          ………………15分