Question

小張有一只放有a個紅球、b個黃球、c個白球的箱子，且a+b+c=6（a，b，c∈N），小劉有一只放有3個紅球、2個黃球、1個白球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球，規定：當兩球同色時小張勝，異色時小劉勝．
（1）用a、b、c表示小張勝的概率；
（2）若又規定當小張取紅、黃、白球而勝的得分分別為1分、2分、3分，否則得0分，求小張得分的期望的最大值及此時a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）由P（小張勝）=P（兩人均取紅球）+P（兩人均取黃球）+P（兩人均取白球），能用a、b、c表示小張勝的概率．
（2）設小張的得分為隨機變量ξ，則P（ξ=3）=

c

6

×

1

6

，P（ξ=2）=

b

6

×

2

6

，P（ξ=1）=

a

6

×

3

6

，P（ξ=0）=1一P（小張勝）=1一

3a+2b+c

36

，由此能求出小張得分的期望的最大值及此時a、b、c的值．

解答：解：（1）P（小張勝）=P（兩人均取紅球）+P（兩人均取黃球）+P（兩人均取白球）
=

a

6

× 

3

6

+

b

6

×

2

6

+

c

6

×

1

6

=

3a+2b+c

36

．
（2）設小張的得分為隨機變量ξ，則
P（ξ=3）=

c

6

×

1

6

，P（ξ=2）=

b

6

×

2

6

，P（ξ=1）=

a

6

×

3

6

，
P（ξ=0）=1一P（小張勝）=1一

3a+2b+c

36

，
∴Eξ=3×

c

6

×

1

6

+2×

b

6

×

2

6

+1×

a

6

×

3

6

+0×（1一

3a+2b+c

36

）
=

3a+4b+3c

36

=

3(a+b+c)+b

36

=

1

2

+

b

36

．
∵a，b，c∈N，a+b+c=6，
∴b=6-a-b，
此時a=c=0，b=6時，Eξ最大．

點評：本題考查概率的性質和求法，考查離散型隨機變量的數學期望，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．