Question

已知函數f(x)=2sin(

2π

3

x+

π

6

)．
（Ⅰ）請用“五點法”畫出函數f（x）在一個周期上的圖象（先列表，再畫圖）；
（Ⅱ）求f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）求f（x）在[-

1

2

，

3

4

]上的取值范圍．

Answer 1

考點：五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象,正弦函數的單調性,三角函數的最值

專題：圖表型,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）先列表，再描點畫圖即可用“五點法”畫出函數f（x）在一個周期上的圖象；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤

2π

3

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，可解得f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）由x∈[-

1

2

，

3

4

]，可得

2π

3

x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，從而求得f（x）在[-

1

2

，

3

4

]上的取值范圍．

解答： 本題滿分（13分）
解：（Ⅰ）函數f(x)=2sin(

2π

3

x+

π

6

)的周期T=3，-----------------------------------（1分）
列表如下：

2π 3 x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- 1 4	1 2	5 4	2	11 4
f（x）	0	2	0	-2	0

描點畫圖如圖所示．--------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）函數y=sinx的單調增區間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)．-----------------------（6分）
由2kπ-

π

2

≤

2π

3

x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
得3k-1≤x≤3k+

1

2

(k∈Z)．
所以f（x）單調增區間為[3k-1，3k+

1

2

](k∈Z)．----------------------------------------------（9分）
（Ⅲ）因為x∈[-

1

2

，

3

4

]，
所以

2π

3

x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
所以sin(

2π

3

x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
所以2sin(

2π

3

x+

π

6

)∈[-1，2]，即f（x）在[-

1

2

，

3

4

]上的取值范圍是[-1，2]．-------------（13分）
說明：（Ⅱ）（Ⅲ）問，如果最終結果錯誤，可細化解題步驟給過程分；如果僅有最終正確結果，無步驟每問各扣（1分）．

點評：本題主要考察了五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，正弦函數的單調性，三角函數的最值的解法，屬于基本知識的考查．