Question

直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線，則a的值為

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   1或
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：由直線與曲線相切，根據直線已知，即可得出切線斜率，即得出曲線的導數的方程，再設出切點坐標，利用切點在曲線上，又得到一個方程，兩個方程聯立求解即可．
解答：設切點P（x₀，x₀）
∵直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線
∴切線的斜率為1
∵y=x³-3x²+ax
∴y′=3x²-6x+a =3x₀²-6x₀+a
根據切線的幾何意義得：
3x₀²-6x₀+a=1①
∵點P在曲線上
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀②
由①，②聯立得
③或 ④
由③得，a=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或 ，把x₀的值代入④中，得到a=1或 ，
綜上所述，a的值為1或 ．
故選C．
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線的斜率，會根據一點和斜率寫出直線的方程，是一道中檔題．