Question

（2010•眉山一模）直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線，則a的值為（　　）

• A．1
• B．

  13

  4

• C．1或

  13

  4

• D．4

Answer 1

分析：由直線與曲線相切，根據直線已知，即可得出切線斜率，即得出曲線的導數的方程，再設出切點坐標，利用切點在曲線上，又得到一個方程，兩個方程聯立求解即可．

解答：解：設切點P（x₀，x₀）
∵直線y=x是曲線y=x³-3x²+ax的切線
∴切線的斜率為1
∵y=x³-3x²+ax
∴y′︳x=x0=3x²-6x+a ︳x=x0=3x₀²-6x₀+a
根據切線的幾何意義得：
3x₀²-6x₀+a=1①
∵點P在曲線上
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀②
由①，②聯立得

x0=0 3 x 0 2 -6x0+a-1=0

③或

x 2 0 -3x0+a-1=0 3 x 2 0 -6x0+a-1=0

④
由③得，a=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或

3

2

，把x₀的值代入④中，得到a=1或

13

4

，
綜上所述，a的值為1或

13

4

．
故選C．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線的斜率，會根據一點和斜率寫出直線的方程，是一道中檔題．