Question

(本題滿分14分) 設｛a_n｝是由正數組成的等差數列，S_n是其前n項和

（1）若，求的值；

（2）若互不相等正整數p，q，m，使得p＋q＝2m，證明：不等式成立；

（3）是否存在常數k和等差數列｛a_n｝，使恒成立（n∈N^*），若存在，試求出常數k和數列｛a_n｝的通項公式；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：在等差數列｛a_n｝中，S_n，S_2n－S_n，S_3n－S_2n，…成等差數列，

∴S_n＋（S_3n－S_2n）＝2（S_2n－S_n）

∴S_3n＝3 S_2n－3 S_n＝60…………………………………………………………………4分

（2）S_pS_q＝pq（a₁＋a_p）（a₁＋a_q）

＝pq［a＋a₁(a_p＋a_q)＋a_pa_q］

＝pq（a＋2a₁a_m＋a_pa_q）＜（）²［a＋2a₁a_m＋（）²］

＝m²（a＋2a₁a_m＋a）＝［m（a₁+a_m）］²

＝S………………………………………………………………………8分

（3）設a_n＝pn＋q（p，q為常數），則ka－1＝kp²n²＋2kpqn＋kq²－1

S_n+1＝p(n＋1)²＋（n＋1）

S_2n＝2pn²＋（p＋2q）n

∴S_2n－S_n+1＝pn²＋n－（p＋q），

依題意有kp²n²＋2kpqn＋kq²－1＝ pn²＋n－（p＋q）對一切正整數n成立，

∴

由①得，p＝0或kp＝；

若p＝0代入②有q＝0，而p＝q＝0不滿足③，

∴p≠0

由kp＝代入②，

∴3q＝，q＝－代入③得，

－1＝－（p－），將kp＝代入得，∴P＝，

解得q＝－，k＝

故存在常數k＝及等差數列a_n＝n－使其滿足題意…………………13分

【解析】略