Question

已知函數 f(x)=alnx-(a+1)x+

1

2

x2(a≥0)．
（Ⅰ）若直線l與曲線y=f（x）相切，切點是P（2，0），求直線l的方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調性．

Answer 1

（I）因為切點是P（2，0），
∴f(2)=aln2-2(a+1)+

1

2

×22=0，∴a=0，
∴函數f（x）=

1

2

x2-x，又f′（x）=x-1，
所以切線的斜率為：f′（2）=1．
所以切線l的方程為y=x-2．
函數 f(x)=alnx-(a+1)x+

1

2

x2(a≥0)．
（II）由題意得，f′（x）=

a

x

-（1+a）+x=

(x-1)(x-a)

x

（x＞0）
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a
①當0＜a＜1時，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜1，
∴函數f（x）的單調增區間是（0，a）和（1，+∞），單調減區間是（a，1）；
②當a=1時，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，當且僅當x=1時，f′（x）=0，
所以函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數；
③當a＞1時，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜1或x＞a；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜a
∴函數f（x）的單調增區間是（0，1）和（a，+∞），單調減區間是（1，a）．