Question

對于函數f(x)，若存在x₀∈R，使?f(x₀)?=x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點，已知函數?f(x)?=ax²+?(b+1)x+(b-1)(a≠0).??

(1)當a=1,b=-2時，求函數f(x)的不動點；?

(2)若對任意實數b,函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；?

(3)在(2)的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+對稱，求b的最小值.

Answer 1

解析:（1）當a=1,b=-2時，f(x)=x²-x-3.?

由題意可知x=x²-x-3,得x₁=-1,x₂=3.?

故當a=1,b=-2時，f(x)的兩個不動點為(-1，-1)和(3,3).?

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有兩個不動點，?

∴x=ax²+(b+1)x+(b-1),即ax²+bx+(b-1)=0恒有兩個相異的實數根，可知Δ=b²-4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是有Δ′=(4a)²-16a＜0,解之得?0＜a＜1.??

故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，a的取值范圍是0＜a＜1.?

（3）由題意，A、B兩點應在直線y=x上，設A(x₁,x₁),?B(x₂,x₂).??

∵點A、B關于直線y=kx+對稱，

∴k=-1.?

設AB的中點為M(x′,y′),?

∵x₁、x₂是方程ax²+bx+(b-1)=0的兩個根,?

∴x′=y′= =-.于是，由M在直線y=-x+上，得-=+,即?

b=-=-.?

∵a＞0,

∴2a+ ≥2.?

當且僅當2a=,即a=∈(0,1)時取等號.?

故b≥-.∴b_min=-.