Question

【題目】已知橢圓的一個焦點坐標為，一條斜率為的直線分別交軸于點，交橢圓于點，且點三等分．

（1）求該橢圓的方程；

（2）若是第一象限內橢圓上的點，其橫坐標為2，過點的兩條不同的直線分別交橢圓于點，且直線的斜率之積，求證：直線恒過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點．

【解析】

（1）分別設出點的坐標，用相關參數表示的坐標，代入橢圓方程，求出的值；

（2）設出直線的方程，利用條件求出相關參數關系，即可求得定點坐標．

（1）不妨設，則，

即，

則由題意知，或，

分別代入橢圓的方程得消去，整理得，

又，所以．

故該橢圓的方程為．

（2）由題意得，直線的斜率存在，且不為0，設直線的方程為，

代入橢圓的方程整理得，．

設，由根與系數的關系得，

由得，即，

所以，

即，

整理得，．

由求根公式得，，

故或．

若，則直線的方程為，

直線過點，即點，舍去．

若，則直線的方程為，恒過定點．