Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（-x）-mx+1，若g（x）在[-1，1]上是單調函數，求實數m的取值范圍；
（3）設h（x）=f（x）-nx+2，若h（x）在[-1，1]上的最小值是1，求實數n的值．

Answer 1

分析：（1）二次函數y=ax²+bx+c，滿足f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．
所以拋物線的頂點坐標是（-1，-1），與x軸相交于（-2，0），（0，0），把三點坐標代入函數的表達式，列出方程組，解出各系數則可．
（2）由于g（x）在[-1，1]上是單調函數，故函數對稱軸在區(qū)間的左側或區(qū)間的右側，建立不等式-

2-m

2

≤-1或-

2-m

2

≥1，解出m即可；
（3）通過討論n的取值，確定函數在區(qū)間[-1，1]的單調性，進而得到h（x）在[-1，1]上的最小值是1，建立方程，解出n即可．

解答：解：（1）由于二次函數f（x）=ax²+bx+c滿足f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1，
則f（-1）=-1，
故實數a，b，c滿足的關系式為

4a+2b+c=0 c=0   a+b+c=-1

，
解得a=1，b=-2，c=0．
故這個二次函數的表達式為y=x²-2x．
（2）設g（x）=f（-x）-mx+1，則g（x）=（-x）²-2（-x）-mx+1=x²+（2-m）x+1，
可得函數g（x）的對稱軸為x=-

2-m

2

，
由于g（x）在[-1，1]上是單調函數，
則-

2-m

2

≤-1或-

2-m

2

≥1，解得 m≤0或m≥4，
故實數m的取值范圍為（-∞，0]∪[4，+∞）．
（3）設h（x）=f（x）-nx+2，則h（x）=x²-2x-nx+2=x²-（2+n）x+2，
可得函數h（x）的對稱軸為x=1+

n

2

，
①當n≥0時，則1+

n

2

≥1，故函數h（x）=x²-（2+n）x+2在區(qū)間[-1，1]上為減函數，
則h（x）_min=h（1）=1-（2+n）+2=1-n=1，解得n=0；
②當n≤-4時，則1+

n

2

≤-1，故函數h（x）=x²-（2+n）x+2在區(qū)間[-1，1]上為增函數，
則h（x）_min=h（-1）=1+（2+n）+2=5+n=1，解得n=-4；
③當-4＜n＜0時，則-1＜1+

n

2

＜1，故函數h（x）=x²-（2+n）x+2在區(qū)間[-1，1+

n

2

]上為減函數，
在區(qū)間[1+

n

2

，1]上為增函數，
則h（x）_min=h（1+

n

2

）=（1+

n

2

）²-（2+n）（1+

n

2

）+2=1，
解得n=0或n=-4，故當-4＜n＜0時，n無解；
綜上可知，實數n的值為0或4．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的單調性的應用，熟練掌握待定系數法以及正確討論對稱軸與區(qū)間的關系是解本題的關鍵．