Question

21. 已知常數a>0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點（如圖）.問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

21.解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）.

　設===k（0≤k≤1）.

　由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.

　直線OF的方程為：2ax+（2k－1）y=0，                                                                          ①

　直線GE的方程為：－a（2k－1）x+y－2a=0.                                                                   ②

　從①，②消去參數k，得點P（x，y）坐標滿足方程2a²x²+y²－2ay=0，

 

　整理得       .

　

當a²=時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.

　

當a²≠時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長.

　

當a²＜時，點P到橢圓兩個焦點（－），（）的距離之和為定值.

　

當a²＞時，點P到橢圓兩個焦點（0，a－），（0，a+）的距離之和為定值2a.