Question

已知常數a為正實數，曲線C_n：y=

nx

在其上一點P_n（x_n，y_n）的切線l_n總經過定點（-a，0）（n∈N^*）．
（1）求證：點列：P₁，P₂，…，P_n在同一直線上；
（2）求證：ln(n+1)＜

n

i=1

a

yi

＜2

n

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=x_n處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．P_n（a，

na

）總在直線x=a上，即P₁，P₂，，P_n在同一直線上，從而問題解決．
（2）由（1）可知y_n=

an

，從而f（i）=

a

yi

=

1

i

=

1 i

，對

1

i

=

2

2 i

進行放縮

2

i + i-1

從而得出：

n

i=1

a

yi

=

n

i=1

1

i

＜

n

i=1

2(

i

-

i-1

)=2[(

1

-

0

)+(

2

-

1

)++(

n

-

n-1

)]=2

n

，最后設函數F（x）=

x

-ln（x+1），x∈[0，1]，利用導數研究其單調性即可證得結論．

解答：證：（1）∵f（x）=

nx

，
∴f′（x）=

1

2 nx

•（nx）′=

1

2

•

n x

．（1分）
C_n：y=

nx

在點P_n（x_n，y_n）處的切線l_n的斜率k_n=f′（x_n）=

1

2

•

n xn

，
∴l_n的方程為y-y_n=

1

2

•

n xn

（x-x_n）．（2分）
∵l_n經過點（-a，0），
∴y_n=-

1

2

•

n x n

（-a-x_n）=

1

2

•

n xn

（a+x_n）．
又∵P_n在曲線C_n上，∴y_n=

nxn

=

1

2

•

n xn

（a+x_n），
∴x_n=a，∴y_n=

na

，∴P_n（a，

na

）總在直線x=a上，
即P₁，P₂，，P_n在同一直線x=a上．（4分）
（2）由（1）可知y_n=

an

，∴f（i）=

a

yi

=

1

i

=

1 i

．（5分）

1

i

=

2

2 i

＜

2

i + i-1

=2（

i

-

i-1

）（i=1，2，，n），

n

i=1

a

yi

=

n

i=1

1

i

＜

n

i=1

2(

i

-

i-1

)
=2[(

1

-

0

)+(

2

-

1

)++(

n

-

n-1

)]=2

n

．（9分）
設函數F（x）=

x

-ln（x+1），x∈[0，1]，有F（0）=0，
∴F′（x）=

1

2 x

-

1

x+1

=

x+1-2 x

2 x (x+1)

=

( x -1)2

2 x (x+1)

＞0（x∈（0，1）），
∴F（x）在[0，1]上為增函數，
即當0＜x＜1時F（x）＞F（0）=0，故當0＜x＜1時

x

＞ln（x+1）恒成立．（11分）
取x=

1

i

（i=1，2，3，，n），f（i）=

1 i

＞ln（1+

1

i

）=ln（i+1）-lni，
即f（1）=

1

1 1

＞ln2，f（2）=

1 2

＞ln（1+

1

2

）=ln3-ln2，，f（n）=

1 n

＞ln（n+1）-lnn，∴

n

i=1

f(i)=

n

i=1

1 i

=

1 1

+

1 2 +

+

1 n

＞ln2+（ln3-ln2）++[ln（n+1）-lnn]=ln（n+1）
綜上所述有ln（n+1）＜

n

i=1

a

yi

＜2

n

（n∈N^*）．（13分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．