Question

如圖，三棱錐中，是的中點(diǎn)，，，，，二面角的大小為．

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）取BD中點(diǎn)M，連結(jié)MA，MB得到

又，即 

又

平面

證得，證，平面 ；

(2)直線與平面所成角的正弦值為．

【解析】

試題分析：（1）取BD中點(diǎn)M，連結(jié)MA，MB            1分

所以

又，即            2分

又

即為的平面角           4分

所以

，平面

                5分

在中，，如圖②，取AM中點(diǎn)O

則知為正三角形，

即            6分

又

平面            7分

(2)解法一、向量法：

建立如圖直角坐標(biāo)系M-xyz           8分

，，， 

，，        9分

設(shè)平面的法向量為，即有       10分

得                          11分

設(shè)直線與平面所成角為

則                     13分

即直線與平面所成角的正弦值為．            14分

解法二、幾何法：提示：取AB中點(diǎn)N   

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系、角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。