Question

已知函數f(x)=

px+3

x2+2

（其中p為常數，x∈[-2，2]）為偶函數．
（1）求p的值；
（2）用定義證明函數f（x）在（0，2）上是單調減函數；
（3）如果f（1-m）＜f（2m），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為f（x）是偶函數，所以f（-x）=f（x）任意x∈R恒成立，代入解析式結合比較系數法，可得實數p的值；
（2）由（1）知函數解析式為f(x)=

3

x2+2

，再設0＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）與f（x₂）作差，因式分解后經過討論可得
f（x₁）＞f（x₂），因此，函數f（x）在（0，2）上是單調減函數；
（3）因為f（x）在[0，2]上為減函數，f（x）又是偶函數，所以f（x）在[-2，0]上為單調增函數．因此，原不等式等價于2≥|1-m|＞|2m|≥0，用平方的方法，可解得實數m的取值范圍．

解答：解（1）∵f（x）是偶函數，
∴

-px+3

x2+2

=

px+3

x2+2

，可得2px=0對任意x∈R恒成立，故p=0．…（4分）
（2）由（1）知函數表達式為：f(x)=

3

x2+2

．
設0＜x₁＜x₂＜2，…（6分）
則f(x1)-f(x2)=

3

x12+2

-

3

x22+2

=

3(x2-x1)(x2+x1)

(x12+2)(x22+2)

．…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，且(x12+2)(x22+2)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x₁）＞f（x₂）
因此，函數f（x）在（0，2）上是單調減函數．…（10分）
（3）由（2）得f（x）在[0，2]上為減函數，
∵f（x）是偶函數，所以f（x）在[-2，0]上為單調增函數．…（12分）
因此，不等式f（1-m）＜f（2m）可化為：2≥|1-m|＞|2m|≥0，
∴4＞（1-m）²＞（2m）²，解之得-1＜m＜

1

3

．
所以滿足f（1-m）＜f（2m）的實數m的取值范圍是(-1，

1

3

)．…（16分）

點評：本題在含有參數的分式函數的奇偶性已知的情況下，求參數的值并且討論了函數的單調性，著重考查了函數的單調性與奇偶性等知識點，屬于中檔題．