Question

點P在直線l：y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=x²于A，B兩點，且|PA|=|AB|，則稱點P為“點”，那么下列結論中正確的是

1. A.
   直線l上的所有點都是“點”
2. B.
   直線l上僅有有限個點是“點”
3. C.
   直線l上的所有點都不是“點”
4. D.
   直線l上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”

Answer 1

A
分析：根據題設方程分別設出A，P的坐標，進而B的坐標可表示出，把A，B的坐標代入拋物線方程聯立消去y，求得判別式大于0恒成立，可推斷出方程有解，進而可推斷出直線l上的所有點都符合．
解答：設A（m，n），P（x，x-1）則，B（2m-x，2n-x+1）
∵A，B在y=x²上
∴n=m²，2n-x+1=（2m-x）²
消去n，整理得關于x的方程
x²-（4m-1 ）x+2m²-1=0
∵△=8m²-8m+5＞0恒成立，
∴方程恒有實數解，
∴故選A．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系．一般是把直線與圓錐曲線方程聯立，解決直線與圓錐曲線的交點個數時，利用判別式來判斷．