Question

【題目】如圖，拋物線：與雙曲線：（，）有公共焦點，點是曲線，在在第一象限的交點，且．

（1）求雙曲線的方程；

（2）以為圓心的圓與雙曲線的一條漸進線相切，圓．已知點，過點作互相垂直分別與圓、圓相交的直線和，設被圓解得的弦長為，被圓截得的弦長為．試探索是否為定值？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件運用雙曲線的定義求解；（2）借助題設運用直線與圓的位置關系探求.

試題解析：

（1）∵拋物線：的焦點為，

∴雙曲線的焦點為，，

設在拋物線：上，且，

由拋物線的定義得，∴，

∴，∴，

，

又∵點在雙曲線上，由雙曲線定義得，所以，

∴雙曲線的方程為：．

（2）為定值.下面給出說明：

設圓的方程為，雙曲線的漸近線方程為．

∵圓與漸近線相切，∴圓的半徑為，

故圓：．

依題意、的斜率存在且均不為零，

所以設的方程為，即，

設的方程為，即，

∴點到直線的距離，點到直線的距離，

∴直線被圓截得的弦長，

直線被圓截得的弦長，

∴，故為定值．