Question

已知函數f（x）=

1

x-1

，各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，則a₁=

5 +1

2

．

Answer 1

分析：函數f（x）=

1

x-1

，各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+2=f（a_n），可得a_n+2=

1

an-1

，因為a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，可得a₂₀₁₃=

1

a2011-1

=a₂₀₁₁，說明a₂₀₁₁也是方程x²-x-1=0的根，求出a₂₀₁₁，利用此信息進行求解；

解答：解：∵知函數f（x）=

1

x-1

，各項均為正數的數列{a_n}滿足a_n+2=f（a_n），
∴a_n+2=

1

an-1

，
取n=2011，a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，a_n+2=

1

an-1

，
可得a₂₀₁₃=

1

a2011-1

=a₂₀₁₁，所以（a₂₀₁₁）²-a₂₀₁₁-1=0，
∴a₂₀₁₁是方程x²-x-1=0的根，a₂₀₁₁＞0
∴a₂₀₁₁=

5 +1

2

，
∵a_n+2=

1

an-1

，
∴a₂₀₀₉=

1

a2011-1

=

1

5 +1 2 -1

=

2( 5 +1)

4

=

5 +1

2

，
a₂₀₀₇=

1

a2009-1

=

5 +1

2

a₂₀₀₆=

1

a2007-1

=

5 +1

2

依此類推可得
∴a₁=

1

a2-1

=

5 +1

2

故答案為：

5 +1

2

；

點評：此題主要考查數列的函數特性，注意利用好a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，證明a₂₀₁₁是方程x²-x-1=0的根，此題是一道基礎題；