Question

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓周上的一點．

（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；(6分)

（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．（6分）

 

Answer 1

【答案】

(1)答案見詳解；（2）

【解析】

試題分析：（1）通過線面垂直即BC⊥平面PAC，可得平面PAC⊥平面PBC；（2）建立空間坐標系，求出兩平面的法向量求解或利用線面垂直性質，做出二面角平面角，再求解.

試題解析：(1)證明　由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因為BC⊂平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAC.（5分）

(2)解　方法一　過C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.

如圖，以點C為坐標原點，分別以直線CB、CA、CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

因為AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

因為PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．

故C＝(，0,0)，C＝(0,1,1)．

設平面BCP的法向量為n₁＝(x，y，z)，則所以

不妨令y＝1，則n₁＝(0,1，－1)．

因為A＝(0,0,1)，A＝(，－1,0)，

設平面ABP的法向量為n₂＝(x，y，z)，

則

所以

不妨令x＝1，則n₂＝(1，，0)．

于是cos〈n₁，n₂〉＝＝.

所以由題意可知二面角C­PB­A的余弦值為.(10分)

方法二

過C作CM⊥AB于M，因為PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，

所以PA⊥CM，又PA∩AB＝A，故CM⊥平面PAB.

過M作MN⊥PB于N，連接NC，

由三垂線定理得CN⊥PB，

所以∠CNM為二面角C­PB­A的平面角．

在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，

得BC＝，CM＝，BM＝，

在R  t△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝.

因為Rt△BNM∽Rt△BAP，

所以＝，故MN＝.

又在Rt△CNM中，CN＝，故cos∠CNM＝.

所以二面角C­PB­A的余弦值為.（10分）

考點：1、面面垂直；2、二面角.