Question

廣東某公司為了應對美國次貸案所造成的全球性金融危機，決定適當進行裁員．已知這家公司現有職工200人，每人每年可創利潤10萬元．根據測算，在經營條件不變的前提下，若裁員人數不超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利潤0.1萬元；若裁員人數超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利潤0.12萬元．為保證公司的正常運轉，留崗的員工數不得少于現有員工人數的70%．為保障被裁員工的生活，公司要付給被裁員工每人每年2萬元的生活費．設公司裁員人數為x，公司一年獲得的純收入為y萬元．（注：年純收入=年利潤-裁員員工的生活費）
（1）求出y與x的函數關系式；
（2）為了獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？

Answer 1

分析：（1）根據若裁員人數不超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利潤0.1萬元，可得當0＜x≤200×20%時，y=-0.1x²+8x+2000；根據若裁員人數超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利潤0.12萬元，可得當200×20%＜x≤200×（1-70%）時，y=-0.12x²+12x+2000，從而可得y與x的函數關系式；
（2）利用配方法，分段求函數的最值，再比較利潤，即可求出公司獲得最大的經濟效益，公司應裁員的人數．

解答：解：（1）當0＜x≤200×20%時，y=（200-x）（10+0.1x）-2x，即y=-0.1x²+8x+2000，…（2分）
當200×20%＜x≤200×（1-70%）時，y=（200-x）（10+0.12x）-2x，即y=-0.12x²+12x+2000  …（4分）
∴y與x的函數關系式為y=

-0.1x2+8x+2000，0＜x≤40，x∈N -0.12x2+12x+2000，40＜x≤60，x∈N

…（6分），
（2）由y=-0.1x²+8x+2000=-0.1（x-40）²+2160，
而0＜x≤40，x∈N，則x=40時，y_max=2160；    …（9分）
由y=-0.12x²+12x+2000=-0.12（x-50）²+2300
而40＜x≤60，x∈N，則x=50時，y_max=2300；   …（12分）
由于2160＜2300，則當x=50時，公司獲利最大，…（13分）
答：裁員50人時，公司獲得最大的經濟效益．  …（14分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查配方法求函數的最值，解題時審清題意是關鍵．