Question

某公司為了應對金融危機，決定適當進行裁員．已知這家公司現有職工2m人（60＜m＜500，且m為10的整數倍），每人每年可創利100千元．據測算，在經營條件不變的前提下，若裁員人數不超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利1千元；若裁員人數超過現有人數的20%，則每裁員1人，留崗員工每人每年就能多創利2千元．為保證公司的正常運轉，留崗的員工數不得少于現有員工人數的75%．為保障被裁員工的生活，公司要付給被裁員工每人每年20千元的生活費．問：為了獲得最大的經濟效益，該公司應裁員多少人？

Answer 1

分析：欲求獲得最大的經濟效益時，該公司的裁員人數．分情況求出0＜x≤

1

5

×2m和

2

5

m≤x≤

1

4

×2m兩種情況下函數的解析式，列出分段函數；分別對分段函數進行參數的討論，最后得出裁員的最佳人數．

解答：解：設公司裁員人數為x，獲得的經濟效益為y元，
則由題意得當0＜x≤

1

5

×2m時．y=(2m-x)(100+x)-20x（2分）當

2

5

m≤x≤

1

4

×2m時，y=(2m-x)(100+2x)-20x（4分）
∴y=

-[x2-2(m-60)x]+200m，0＜x≤ 2 5 m且x∈N -2[x2-2(m-30)x]+200m 2 5 m＜x≤ 1 2 m，x∈N

，
由①得對稱軸x=m-60＞0，當0＜m-60≤

2

5

m，即60＜m≤100時，x=m-60時，y取得最大值y1=m2+80m+3600
當m＞100時，x=

2

5

m時，y取得最大值y2=0.64m2+152m（8分）
由②得對稱軸x=m-30，∵60＜m＜500，∴m-30＞

1

2

m，
∵當x=

m

2

時，y取得最大值y3=1.5m2+140m
∵當60＜m≤100時，y₃-y₁=0.5m²+60m-3600
=0.5（m+60）²-5400＞0.5×120²-5400
=1800＞0當100＜m＜500時，
y₃-y₂=0.86m²-12m=m（0.86m-12）＞0，
即當60＜m＜500時，y₃最大即當公司應裁員數為

1

2

m，
即原有人數的

1

4

時，獲得的經濟效益最大． （16分）

點評：本題考查分段函數的應用，同時考查一元二次函數最值的求法．