Question

7．點P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右支上一點，點M，N分別是圓（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的動點，則|PM|-|PN|的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由題意求得∴|PM|_min=|PF₁|-r₁=|PF₁|-2，|PN|_max=|PF₂|+r₂=|PF₂|+1，根據雙曲線的定義，即可求得|PM|-|PN|的最小值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，a=4，b=3，c=5，
∴雙曲線兩個焦點分別是F₁（-5，0）與F₂（5，0），
恰好為圓（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1的圓心，半徑分別是r₁=2，r₂=1，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
∴|PM|_min=|PF₁|-r₁=|PF₁|-2，|PN|_max=|PF₂|+r₂=|PF₂|+1，
∴|PM|_max=|PF₁|+r₁=|PF₁|+2，|PN|_min=|PF₂|-r₂=|PF₂|-1，
∴|PM|-|PN|_min=（|PF₁|-2）-（|PF₂|+1）=8-3=5，
故選C．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質和雙曲線與圓的關系，著重考查了學生對雙曲線定義的理解和應用，以及對幾何圖形的認識能力，屬于中檔題．