Question

已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M（2，0），AB邊所在直線的方程為：x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在AD邊所在直線上．
（1）求矩形ABCD外接圓的方程；
（2）求矩形ABCD外接圓中，過點(diǎn)G（1，1）的最短弦EF所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）先確定A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2），根據(jù)M點(diǎn)是矩形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，可得M點(diǎn)（2，0）即為矩形ABCD外接圓的圓心，從而可求圓方程；
（2）當(dāng)EF⊥MG時(shí)，弦BC最短，由此可求直線EF的方程．

解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
∵KAB=

1

3

且 AB⊥AD，
∴K_AD=-3
∵T（-1，1）在AD上，
∴

x-3y-6=0 y-1 x+1 =-3

，
∴

x=0 y=-2

，即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）．
又∵M(jìn)點(diǎn)是矩形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)
∴M點(diǎn)（2，0）即為矩形ABCD外接圓的圓心，其半徑r=|MA|=2

2

∴圓方程為（x-2）²+y²=8
（2）當(dāng)EF⊥MG時(shí)，弦BC最短，
∵K_MG=-1，
∴K_EF=1，所以直線EF的方程為x-y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓中弦的方程，解題的關(guān)鍵是充分利用圓的性質(zhì)，屬于中檔題．