Question

已知圓O：x²+y²=1和定點A（2，1），由圓O外一點P（a，b）向圓O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|，
（Ⅰ）求實數a，b間滿足的等量關系；
（Ⅱ）求線段PQ長的最小值．

Answer 1

分析：（I）連結OP，根據圓的切線的性質得|PQ|²+|QO|²=|OP|²，即a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²，化簡既得實數a，b間滿足的等量關系；
（II）由（I）結合兩點間的距離公式，可得|PQ|²=a²+b²-1=5（a-

6

5

）²+

4

5

，結合二次函數的性質可得當a=

6

5

時，線段PQ長有最小值

2 5

5

．

解答：解：（Ⅰ）連結OP，因為Q是切點，可得PQ⊥QO，則|PQ|²+|QO|²=|OP|²，
∵|PQ|=|PA|，∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²
化簡得2a+b-3=0，即為實數a，b間滿足的等量關系； …（6分）
（Ⅱ）由（I）2a+b-3=0，得b=-2a+3
∴|PQ|²=a²+b²-1=a²+（-2a+3）²-1=5（a-

6

5

）²+

4

5

因此，當a=

6

5

時，線段PQ長的最小值為

4 5

=

2 5

5

…（12分）

點評：本題給出單位圓和其外部一個定點A，求切線PQ滿足|PQ|=|PA|時，實數a，b間滿足的等量關系，并求線段長的最小值．著重考查了直線與圓的位置關系、圓的方程和二次函數的性質等知識，屬于中檔題．