Question

若關于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集為空集，則實數a的取值范圍是

（-∞，-1）∪（0，+∞）

．

Answer 1

分析：根據絕對值的性質，我們可以求出|x-1|-|x-2|的最大值，結合不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集為空集，可得|x-1|-|x-2|＜a²+a+1恒成立，即a²+a+1大于|x-1|-|x-2|的最大值，解不等式可得實數a的取值范圍．

解答：解：∵|x-1|-|x-2|=|x-1|-|2-x|≤|x-1-x+2|=1
若不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1（x∈R）的解集為空集，
則|x-1|-|x-2|＜a²+a+1恒成立
即a²+a+1＞1
解得x＜-1或x＞0
∴實數a的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，+∞）
故答案為：（-∞，-1）∪（0，+∞）

點評：本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，函數恒成立問題，其中根據絕對值的性質求出不等式左邊的最值是解答的關鍵．