Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁為

x=acosφ y=sinφ

（1＜a＜6，φ為參數）．在以O為原點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂的極坐標方程為ρ=6cosθ，射線為θ=α，與C₁的交點為A，與C₂除極點外的一個交點為B．當α=0時，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐標方程；
（2）設C₁與y軸正半軸交點為D，當a=

π

4

時，設直線BD與曲線C₁的另一個交點為E，求|BD|+|BE|．

Answer 1

分析：（1）直接把極坐標方程中兩邊同時乘以ρ，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化極坐標方程為直角坐標方程，利用同角三角函數基本關系式消掉φ把參數方程化為直角坐標方程，然后把直線方程和兩曲線方程聯立后由|AB|=4求出a，則直角坐標方程可求；
（2）求出B和D的坐標，寫出直線BD的參數方程，和曲線C₁ 聯立后利用參數的幾何意義求解|BD|+|BE|．

解答：解：（1）由ρ=6cosφ，得ρ²=6ρcosφ，所以C₂的直角坐標方程是x²+y²-6x=0
由已知得C₁ 的直角坐標方程是

x2

a2

+y2=1，
當α=0時射線與曲線C₁，C₂交點的直角坐標為（a，0），（6，0），
∵|AB|=4，∴a=2，C₁ 的直角坐標方程是

x2

4

+y2=1①
（2）聯立x²+y²-6x=0與y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是極點，∴B（3，3）．
又可得D（1，0），∴kBD=

3

2

，∴BD的參數方程為

x=3+ 2 13 t y=3+ 3 13 t

（t為參數）②
將②帶入①得

25

13

t2+

66

13

t+41=0，設D，E點的參數是t₁，t₂，則
t1+t2=

-66 13

25

，t1t2=

533

25

，|BD|+|BE|=|t1+t2|=

66 13

25

．

點評：本題考查了點的極坐標與直角坐標的互化，考查了直線參數方程中參數的幾何意義，考查了橢圓的標準方程，對直線參數方程中參數的幾何意義的理解是解答該題的關鍵．