Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x²+y²-12x+32=0的圓心為Q，過點P（0，2）且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，是否存在常數k，使得直線OD與PQ平行？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設過P（0，2）且斜率為k的直線方程為y=kx+2．與圓的方程聯立可得關于x的一元二次方程，由于直線與圓交于兩個不同的點A，B?△＞0，解出即可．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=

OD

，而P(0，2)，Q(6，0)，

PQ

=(6，-2)，

OD

與

PQ

共線等價于2（x₁+x₂）+6（y₁+y₂）=0，解出k并判定是否滿足△＞0即可．

解答：解：（Ⅰ）設過P（0，2）且斜率為k的直線方程為y=kx+2．
聯立

y=kx+2 x2+y2-12x+32=0

化為x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0．　　　①
∵直線與圓交于兩個不同的點A，B等價于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范圍為(-

3

4

，0)．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=

OD

，
由方程①，x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4．　　③
而P(0，2)，Q(6，0)，

PQ

=(6，-2)．
∴

OA

+

OB

與

PQ

共線等價于2（x₁+x₂）+6（y₁+y₂）=0，
將②③代入上式，解得k=-

3

4

．      
由（Ⅰ）知k∈(-

3

4

，0)，故沒有符合題意的常數k．

點評：本題考查了直線與圓相交兩點問題轉化為方程聯立得到關于x的一元二次方程的△＞0、直線平行轉化為向量關系問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．