Question

某種商品原來定價為每件a元時，每天可售出m件．現在的把定價降低x個百分點（即x%）后，售出數量增加了y個百分點，且每天的銷售額是原來的k倍．
（Ⅰ）設y=nx，其中n是大于1的常數，試將k寫成x的函數；
（Ⅱ）求銷售額最大時x的值（結果可用含n的式子表示）；
（Ⅲ）當n=2時，要使銷售額比原來有所增加，求x的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）依題意得
a（1-x%）•m（1+y%）=kam，
將y=nx代入，代簡得：
k=-

nx2

10000

+

(n-1)x

100

+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當x=

50(n-1)

n

時，k值最大，此時銷售額=amk，所以此時銷售額也最大．
且銷售額最大為

(n+1)2ma

4n

元．
（Ⅲ）當n=2時，k=-

x2

5000

+

1

100

x+1，
要使銷售額有所增加，即k＞1．所以
-

x2

5000

+

x

100

＞0，
故x∈（0，50）
這就是說，當銷售額有所增加時，降價幅度的范圍需要在原價的一半以內．