Question

【題目】己知函數（是常數，且）.

（1）討論函數的單調區間；

（2）當在處取得極值時，若關于的方程在上恰有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍；

（3）求證:當，時，.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間是；

（2）實數的取值范圍為；

（3）證明見詳解；

【解析】

（1）先求導，再根據導數與函數的單調性的關系即可得到.

（2）在處取得極值，可得，解得，關于的方程化為，令（），利用導數研究單調性極值與最值，關于的方程在上恰有兩個不相等的實數根，必須滿足解得即可.

（3）由（1）和（2）可知當時，，即，可得當時，，令，則，利用“累加法求和”、對數的運算性質、放縮、“裂項求和”即可證出.

（1）

若，則，

若，則，

的單調遞減區間為，單調遞增區間是.

（2）在處取得極值，

，解得，

，

關于的方程化為，

令（），

，

令，解得或，

令，解得，此時函數單調遞增，

令，解得，此時函數單調遞減，

關于的方程在上恰有兩個不相等的實數根，

則，即，解得，

實數的取值范圍為.

（3）由（1）和（2）可知，當時，，即，

當時，，

令，則，

依次取，

累加求和可得

，

當時，，

，

，

當，時，