Question

如圖（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC=CD，AB=2，F、H、G分別為AC，AD，DE的中點，現將△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面CBED，如圖（乙）．
（1）求證：平面FHG∥平面ABE；
（2）記BC=xV（x）表示三棱錐B-ACE的體積，求V（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲證平面FHG∥平面ABE，根據面面平行的判定定理可知只需在一個平面內找兩相交直線與另一平面平行，由圖（甲）結合已知條件知四邊形CBED為正方形，根據線面平行的判定定理可知FH∥面ABE，同理可得HG∥面ABE又FH∩HG=H滿足定理所需條件；
（2）根據面面垂直的性質可知AC⊥平面CBED，從而V（x）=V_A-BCE=

1

3

S_△BCE•AC=

1

3

×

1

2

x²（2-x）=

1

6

x²（2-x），然后利用導數法求出體積的最大值即可．

解答：解：（1）證明：由圖（甲）結合已知條件知四邊形CBED為正方形
如圖（乙）∵F、H、G分別為AC，AD，DE的中點
∴FH∥CD，HG∥AE（1分）
∵CD∥BE∴FH∥BE
∵BE?面ABE，FH?面ABE
∴FH∥面ABE（3分）
同理可得HG∥面ABE又∵FH∩HG=H∴平面FHG∥平面ABE（4分）
（2）∵平面ACD⊥平面CBED且AC⊥CD
∴AC⊥平面CBED（5分）
∴V（x）=V_A-BCE=

1

3

S_△BCE•AC=H
∵BC=x∴AC=2-X（0＜x＜2）
∴V（x）=

1

3

×

1

2

x²（2-x）=

1

6

x²（2-x）=

1

12

x•x•（4-2x）（7分）
∵V′（x）=

1

6

（4x-3x²），令V′（x）=0得x=0（不合舍去）或x=

4

3

當x＞

4

3

時V′（x）＜0，當0＜x＜

4

3

時V′（x）＞0
∴當x=

4

3

時V（x）有最大值，V（x）_max=V（

4

3

）=

16

81

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，三棱錐的體積最值的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．