Question

已知函數(shù)f（x）=1+

2

x

(x≠0)．
（1）證明：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[2，6]時(shí)，求f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)0＜x₁＜x₂，計(jì)算 f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

x1x2

＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）[2，6]⊆（0，+∞），可得f（x）在[2，6]上是減函數(shù)，從而求得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2(x2-x1)

x1x2

．
由題設(shè)可得 x₁＞0，x₂＞0，x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)． 
（2）∵[2，6]⊆（0，+∞），∴f（x）在[2，6]上是減函數(shù)，…（10分）
∴f（x）_max=f（2）=2，f(x)min=f(6)=

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．