Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（I）求角B的大小；
（II）若b=

13

，求△ABC的面積最大值．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式右邊，整理后利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由sinA不為0求出cosB的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角B的大小；
（II）利用余弦定理列出關(guān)系式，把b與cosB的值代入，利用基本不等式求出ac的最大值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，把sinA與ac最大值代入即可求出面積的最大值．

解答：解：（I）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
將上式代入已知

cosB

cosC

=-

b

2a+c

得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，
∴2sinAcosB+sinA=0，
∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
∵B為三角形的內(nèi)角，
∴B=

2π

3

；
（II）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：13=a²+c²+ac≥2ac+ac，
整理得：ac≤

13

3

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×

13

3

×

3

2

=

13 3

12

，
則當(dāng)a=c=

39

3

時(shí)，△ABC的面積最大值為

13 3

12

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的運(yùn)用，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．