Question

已知函數f(x)=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+

3

cos2x-m，若f（x）的最大值為1
（1）求m的值，并求f（x）的單調遞增區間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊a、b、c，若f（B）=

3

-1，且

3

a=b+c，試判斷三角形的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數f（x）的解析式2sin（2x+

π

3

）-m，由f（x）的最大值為1，求得m的值，從而求得函數的增區間．
（2）在△ABC中，由 f（B）=

3

-1求得B的值，再由

3

a=b+c，可得 sin（A-

π

6

）=

1

2

，從而求得 A的值，進而求得C的值，從而判斷三角形的形狀．

解答：解：∵（1）函數f(x)=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+

3

cos2x-m=2sin2xcos

π

3

+

3

cos2x-m=2sin（2x+

π

3

）-m．
f（x）的最大值為1，故有 2-m=1，∴m=1．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，
故函數的增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（B）=

3

-1，∴2sin（2B+

π

3

）-1=

3

-1，即 sin（2B+

π

3

）=

3

2

，∴B=

π

6

．
又

3

a=b+c，∴

3

sinA=sinB+sinC=

1

2

+sin（

5π

6

-A），化簡可得 sin（A-

π

6

）=

1

2

，∴A=

π

3

，C=

π

2

，
故△ABC為直角三角形．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應用，正弦函數的單調性，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．