Question

在平面直角坐標系中，設二次函數f（x）=3x²-2x+c（x∈R）的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為A．
（1）求實數c的取值范圍；
（2）求圓A的方程；
（3）問圓A是否經過某定點（其坐標與c無關）？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）分別令x=0及y=0，△＞0即可得出；
（2）設出圓的一般方程與（1）比較即可得出；
（3）利用曲線系即可得出．

解答：解：（1）令x=0，得f（0）=c，∴拋物線與y軸的交點為（0，c）．
令f（x）=3x²-2x+c=0，由題意可得：c≠0且△=4-12c＞0，
解得c＜

1

3

且c≠0．
（2）設圓A：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
令y=0得：x²+Dx+F=0，與3x²-2x+c=0是同一個方程．
∴D=-

2

3

，F=

c

3

．
令x=0得y²+Ey+F=0，此方程有一個解c．∴c2+Ec+

c

3

=0，得E=-c-

1

3

．
∴圓A的方程為：x2+y2-

2

3

x-(c+

1

3

)y+

c

3

=0．
（3）由x2+y2-

2

3

x-(c+

1

3

)y+

c

3

=0化為x2+y2-

2

3

x-

1

3

y+(

1

3

-y)c=0．
令

x2+y2- 2 3 x- 1 3 y=0 1 3 -y=0

，解得y=

1

3

，x=0或

2

3

．
∴圓必過定點(0，

1

3

)或(

2

3

，

1

3

)．

點評：熟練掌握圓的一般方程與曲線系等是解題的關鍵．