Question

已知函數有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在上是減函數，在上是增函數．
（1）如果函數在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）上是增函數，求b的值．
（2）設常數c∈[1，4]，求函數的最大值和最小值；
（3）當n是正整數時，研究函數的單調性，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得=4，
∴b=4．
（2）∵c∈[1，4]，
∴∈[1，2]，
于是，當x=時，函數f（x）=x+取得最小值2．
f（1）-f（2）=，
當1≤c≤2時，函數f（x）的最大值是f（2）=2+；
當2≤c≤4時，函數f（x）的最大值是f（1）=1+c．
（3）設0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）
=．
當＜x₁＜x₂時，g（x₂）＞g（x₁），函數g（x）在[，+∞）上是增函數；
當0＜x₁＜x₂＜時，g（x₂）＞g（x₁），函數g（x）在（0，]上是減函數．
當n是奇數時，g（x）是奇函數，
函數g（x）在（-∞，-]上是增函數，在[-，0）上是減函數．
當n是偶數時，g（x）是偶函數，
函數g（x）在（-∞，-）上是減函數，在[-，0]上是增函數．
分析：（1）根據題設條件知=4，由此可知b=4．
（2）由∈[1，2]，知當x=時，函數f（x）=x+取得最小值2．再由c的取值判斷函數的最大值和最小值．
（3）設0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）=．由此入手進行單調性的討論．
點評：本題考查函數的性質和應用，解題要認真審題，仔細求解．