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已知實數x、y滿足
2x-y≤0
x+y-5≥0
y-4≤0
,若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,則實數a的最小值是(  )
分析:作出題中不等式組表示的平面區域,得如圖的△ABC及其內部,而k=
y
x
表示區域內動點P(x,y)與原點連線的斜率,運動點P可得k的取值范圍為[2,4].不等式a(x2+y2)≥(x+y)2可化為a≥1+
2
1
k
+k
,再算出不等式右邊的最大值,即可得到實數a的最小值.
解答:解:作出不等式組
2x-y≤0
x+y-5≥0
y-4≤0
表示的平面區域,
得到如圖的△ABC及其內部,
其中A(
5
3
10
3
),B(1,4),C(2,4)
設k=
y
x
,表示區域內動點P(x,y)與原點O連線的斜率,
運動點P,可得當P與A重合時,斜率取得最小值為2;
當P與C重合時,斜率取得最大值為4.
因此,k=
y
x
的取值范圍為[2,4]
∵不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,
∴兩邊都除以x2+y2,得a≥
(x+y)2
x2+y2
=1+
2xy
x2+y2
=1+
2
1
k
+k

∵k∈[2,4],可得
1
k
+k
∈[
5
2
17
4
]
∴t=1+
2
1
k
+k
的取值范圍為[
25
17
9
5
]
∵a≥1+
2
1
k
+k
對任意k∈[2,4]恒成立,∴a≥(1+
2
1
k
+k
max=
9
5

故選:C
點評:本題給出二元一次不等式組,求使不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立的實數a的取值范圍,著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域、直線的斜率公式和不等式恒成立等知識點,屬于基礎題.
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(2-
3
)x+y-6+2
3
≤0
2x-y-2>0
y-
3
≥0
,則
xy
(x-y)(x+y)
的取值范圍是
 

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5
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y≥
1
2
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x+y-3≥0
0≤y≤2
,則z=(
1
2
)x•(
1
4
)y
的最大值為
 

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