Question

設函數f(x)=log_b(b>0且b≠1)，

（1）求f(x)的定義域；

（2）當b>1時，求使f(x)>0的所有x的值。

Answer 1

解析：  （1）∵x²－2x+2恒正，

∴f(x)的定義域是1+2ax>0，

即當a=0時，f(x)定義域是全體實數。

當a>0時，f(x)的定義域是（－，+∞）

當a<0時，f(x)的定義域是（－∞，－）

（2）當b>1時，在f(x)的定義域內，f(x)>0>1x²－2x+2>1+2ax

x²－2(1+a)x+1>0

其判別式Δ=4(1+a)²－4=4a(a+2)

(i)當Δ<0時，即－2<a<0時

∵x²－2(1+a)x+1>0

∴f(x)>0x<－

(ii)當Δ=0時，即a=－2或0時

若a=0,f(x)＞0(x－1)²>0

x∈R且x≠1

若a=－2,f(x)＞0(x+1)²＞0

x＜且x≠－1

(iii)當△＞0時，即a＞0或a＜－2時

方程x²－2(1+a)x+1=0的兩根為

x₁=1+a－,x₂=1+a+

若a＞0，則x₂＞x₁＞0＞－

∴或

若a<－2，則

∴f(x)＞0x＜1+a－或1+a+＜x＜－

綜上所述：當－2＜a＜0時，x的取值集合為x|x＜－

當a=0時，x∈R且x≠1，x∈R，當a=－2時：x|x＜－1或－1＜x＜

當a＞0時，x∈x|x＞1+a+或－＜x＜1+a－

當a＜－2時，x∈x|x＜1+a－或1+a+＜x＜－