Question

已知：定義在R上的函數f（x）=x²（ax-3），其中a為常數．
（1）若a=1，求：f（x）的圖象在點（1，-2）處的切線方程；
（2）若x=1是函數f（x）的一個極值點，求：實數a的值；
（3）若函數f（x）在區間（-1，0）上是增函數，求：實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
則k=f′（1）=-3，
∴切線方程為：y+2=-3（x-1），即3x+y-1=0；
（2）f（x）=ax³-3x²，得到f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=1是f（x）的一個極值點，
∴f′（1）=0即3（a-2）=0，∴a=2；
（3）①當a=0時，f（x）=-3x²在區間（-1，0）上是增函數，則a=0符合題意；
②當a≠0時，f′（x）=3ax（x-），令f′（x）=0，則x₁=0，x₂=，
當a＞0時，對任意x∈（-1，0），f′（x）＞0，則a＞0符合題意；
當a＜0時，當x∈（，0）時，f′（x）＞0，則≤-1，∴-2≤a＜0符合題意，
綜上所述，a≥-2滿足要求．
分析：（1）把a=1代入f（x），求出f（x）的導函數，把切點的橫坐標x=1代入導函數中，得到的導函數值即為切線方程的斜率，根據求出的斜率和切點坐標寫出切線的方程即可；
（2）求出f（x）的導函數，由x=1是函數f（x）的一個極值點，把x=1代入導函數中求出的導函數值為0，得到關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（3）當a等于0時，代入確定出f（x），得到f（x）在區間（-1，0）為增函數，得到a=0滿足題意；當a不等于0時，分a大于0和a小于0兩種情況考慮，當a大于0時，得到導函數在區間（-1，0）上其值大于0，所以a大于0滿足題意，當a小于0時，令導函數大于0求出a的取值范圍，綜上，得到所有滿足題意的a的取值范圍．
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握導函數的正負與函數單調性之間的關系，掌握函數在某點取得極值的條件，是一道中檔題．