Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f(2)=2-

3

，且對(duì)任意的x都有f(x+3)=

1

-f(x)

，則f（2009）=

 

．

Answer 1

分析：由f(x+3)=

1

-f(x)

，得到函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的周期性即可求值．

解答：解：∵f(x+3)=

1

-f(x)

，
∴f（x+6）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為6的周期函數(shù)，
∴f（2009）=f（334×6+5）=f（5）=f（2+3）=-

1

f(2)

，
∵f(2)=2-

3

，
∴

1

f(2)

=

1

2- 3

=2+

3

，
∴f（2009）=-

1

f(2)

=-（2+

3

），
故答案為：-（2+

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用條件求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．