Question

對a、b∈R，記，函數f（x）=max{|x+1|，|2x+5|}（x∈R）．
（1）求f（0），f（-3）；
（2）作出f（x）的圖象，并寫出f（x）的單調區間；
（3）若關于x的方程f（x）=m有且僅有兩個不等的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：f（x）圖象如圖中粗線所示
（1）f（0）=max{1，5}=5，f（-3）=max{2，1}=2；
（2）由圖象可知f（x）的單調減區間為（-∞，-2]，單調增區間為[-2，+∞）；
（3）f（x）_min=f（-2）=1，由f（x）圖象可知當m＞1時方程f（x）=m有且僅有兩個不等的解．
分析：（1）根據題中所給條件通過比較|x+1|、|2x+5|哪一個更大，先畫出f（x）的圖象，再求出f（x）當x=0或x=-3時的函數值，
（2）結合圖象寫出f（x）的單調區間．
（3）先據此函數的圖象得到f（x）_min=f（-2）=1，然后根據圖象交點的情況即可求出實數m的取值范圍．
點評：本題主要考查函數的最值及其幾何意義．這種先給出定義，讓根據條件求解析式是經常考到點．數形結合是關鍵．