Question

（2012•吉林二模）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且滿足cos

A

2

=

2 5

5

，

AB

•

AC

=3，b+c=6
（I）求a的值；
（II）求

2sin(A+ π 4 )sin(B+C+ π 4 )

1-cos2A

的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡cosA，將已知的cos

A

2

代入求出cosA的值，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡

AB

•

AC

=3，將cosA的值代入求出bc的值，再由b+c的值，兩者聯(lián)立求出b與c的值，由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；
（II）由三角形的內(nèi)角和定理得到B+C=π-A，代入所求的式子中，利用誘導(dǎo)公式化簡，整理后再利用誘導(dǎo)公式化簡，得到關(guān)于cos2A的式子，由cosA的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cos2A的值，代入化簡后的式子中即可求出原式的值．

解答：解：（I）∵cos

A

2

=

2 5

5

，
∴cosA=2cos²

A

2

-1=

3

5

，
又

AB

•

AC

=3，即bccosA=3，
∴bc=5，又b+C=6，
∴b=5，c=1或b=1，c=5，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=20，
∴a=2

5

；
（II）

2sin(A+ π 4 )sin(B+C+ π 4 )

1-cos2A

=

2sin(A+ π 4 )sin(π-A+ π 4 )

1-cos2A

=

2sin(A+ π 4 )sin(A- π 4 )

1-cos2A

=

2sin(A+ π 4 )cos[ π 2 -(A- π 4 )]

1-cos2A

=

-2sin(A+ π 4 )cos(A+ π 4 )

1-cos2A

=-

sin(2A+ π 2 )

1-cos2A

=-

cos2A

1-cos2A

，
∴cosA=

3

5

，∴cos2A=2cos²A-1=-

7

25

，
∴原式=-

- 7 25

1+ 7 25

=

7

32

．

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，余弦定理，誘導(dǎo)公式，以及二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．