Question

（本小題滿分12分）已知數列{a_n}，a₁＝1，a_n＝λa_n－1＋λ－2（n≥2）．

（1）當λ為何值時，數列{a_n}可以構成公差不為零的等差數列，并求其通項公式；

（2）若λ＝3，求數列{a_n}的通項公式a_n．

 

 

Answer 1

【答案】

解　（1）a₂＝λa₁＋λ－2＝2λ－2，

a₃＝λa₂＋λ－2＝2λ²－2λ＋λ－2＝2λ²－λ－2，

∵a₁＋a₃＝2a₂，∴1＋2λ²－λ－2＝2（2λ－2），

得2λ²－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝．

當λ＝時，a₂＝2×－2＝1，a₁＝a₂，故λ＝不合題意舍去；

當λ＝1時，代入a_n＝λa_n－1＋λ－2可得a_n－a_n－1＝－1，

∴數列{a_n}構成首項為a₁＝1，d＝－1的等差數列，

∴a_n＝2－n．

（2）當λ＝3時，a_n＝3a_n－1＋1，

即a_n＋＝3（a_n－1＋），令b_n =a_n＋

即b_n＝3b_n－1，

∴數列{b_n}構成首項為b₁＝，公比為3的等比數列，

∴b_n＝×3^n－1＝，

∴a_n=-

 

【解析】略