Question

如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝BB₁＝1，直線B₁C與平面ABC成30°角，求二面角B－B₁C－A的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：由直三棱柱性質(zhì)得平面ABC⊥平面BCC1B1，過A作AN⊥平面BCC1B1，垂足為N，則AN⊥平面BCC1B1(AN即為我們要找的垂線)，在平面BCB1內(nèi)過N作NQ⊥棱B1C，垂足為Q，連接QA，則∠NQA即為二面角的平面角． 　　∵AB1在平面ABC內(nèi)的射影為AB，CA⊥AB， 　　∴CA⊥B1A．AB＝BB1＝1，得AB1＝． 　　∵直線B1C與平面ABC成30°角，∴∠B1CB＝30°，B1C＝2． 　　在Rt△B1AC中，由勾股定理，得AC＝．∴AQ＝1． 　　在Rt△BAC中，AB＝1，AC＝，得AN＝． 　　sin∠AQN＝＝， 　　即二面角BB1CA的正弦值為．