Question

【題目】古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究了“多邊形數(shù)”，人們把多邊形數(shù)推廣到空間，研究了“四面體數(shù)”，下圖是第一至第四個(gè)四面體數(shù)，（已知）

觀察上圖，由此得出第5個(gè)四面體數(shù)為______（用數(shù)字作答）；第個(gè)四面體數(shù)為______.

Answer 1

【答案】35

【解析】

通過觀察圖形，先將圖形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律,即為找到如1,4,10,20,……的數(shù)列的第項(xiàng),通過觀察發(fā)現(xiàn),相鄰的數(shù)字差分別是3,6,10,……,即第項(xiàng)應(yīng)為,那么就把問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的和,為1,3,6,10,……,根據(jù)這些數(shù)字可以發(fā)現(xiàn),, ,……, ,利用累加法可以得到,再利用題目所給已知,求出前項(xiàng)和,即為第個(gè)四面體數(shù),當(dāng)時(shí),即為第5個(gè)四面體數(shù).

由題,

第一個(gè)四面體數(shù)為1；

第二個(gè)四面體數(shù)為；

第三個(gè)四面體數(shù)為；

第四個(gè)四面體數(shù)為

……

由此可歸納,第個(gè)四面體數(shù)為

即為

設(shè)該式中的每個(gè)數(shù)從左至右的排列為數(shù)列,即為：1,3,6,10,……

得到遞推關(guān)系為,,…,,相加后得

,故數(shù)列的和

當(dāng)時(shí),

故答案為：35；