Question

（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）點在線段上，，試確定的值，使平面；

（Ⅲ）若平面，平面平面，求二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

證明：（Ⅰ）連接 ．

因為四邊形為菱形，，

所以△為正三角形．又為中點，

所以．

因為,為的中點，

所以．

又，

所以平面．                            ………………4分

（Ⅱ）當時，∥平面．

下面證明：

連接交于，連接．

因為∥，

所以．

因為∥平面，平面，平面平面，

所以∥.

所以．

所以，即．

因為，

所以．

所以，

所以∥.

又平面，平面，

所以∥平面．                                 …………9分

（Ⅲ）因為，

又平面平面，交線為，

所以平面．

以為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直

角坐標系．

由===2，

則有，，．

設平面的法向量為=，

由，

且，，

可得

令得．

所以=為平面的一個法向量．

取平面的法向量=，

則，

故二面角的大小為60°．                    …………14分

【解析】本題考查線面垂直和二面角、探索性問題等綜合問題。考查學生的空間想象能力。線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質定理；（4）向量法：證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互平行.

線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直.本題第一問利用方法二進行證明；探求某些點的具體位置，使得線面滿足垂直關系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個方法：一是先假設存在，再去推理，下結論；二是運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出結論，然后再根據條件給出證明或計算.本題第二問主要采用假設存在點，然后確定線面平行的性質進行求解. 本題第三問利用向量法求解二面角.